Pauling-Wilson

They report that the experimental value of the binding energy of Helium atom is -78.605 eV. Unfortunately, the physical constants back then were somewhat different from present-day values. (evolution in units?)  They quote, for instance, e = 4.770 (10^(-10)) esu while the present-day value is e = 4.8032 (10^(-10)) esu.  Such small differences actually matter at the level of precision we are working with.  To be consitent with their quote value, I will use below the Rydberg constant for helium
	(Subscript[R, He]) = 109722.403 (cm^(-1))
	1 eV = 8106 (cm^(-1))
In other words, the binding energy we work out in the unit (Subscript[a, 0]) = 1, m = 1 (m is the reduced mass) must be multiplied by

109722.403/8106*2

to compare to the quoted binding energy.

notation and technique

To organize various integrals that appear in the calculations, I use the following notation

int[n, (Subscript[m, 1]), 
        (Subscript[m, 2])] = ∫∫((Subscript[r, 12])^n) (Subscript[((Subscript[r, 1])^m), 1]) (Subscript[((Subscript[r, 2])^m), 2]) (E^(-2 Z (Subscript[r, 1])/(Subscript[a, 0]))) (E^(-2 
                  Z (Subscript[r, 2])/
                    (Subscript[a, 0]))) \[DifferentialD](Subscript[((Overscript[x,  →]) ), 1]) \[DifferentialD](Subscript[((Overscript[x,  →]) ), 2])

This integral can be worked out as follows.
When n = 0, it is simply

int[0, (Subscript[m, 1]), 
        (Subscript[m, 2])] = ∫∫(Subscript[((Subscript[r, 1])^m), 1]) (Subscript[((Subscript[r, 2])^m), 2]) (E^(-2 Z (Subscript[r, 1])/(Subscript[a, 0]))) (E^(-2 
                    Z (Subscript[r, 2])/
                      (Subscript[a, 0]))) \[DifferentialD](Subscript[((Overscript[x,  →]) ), 1]) \[DifferentialD](Subscript[((Overscript[x,  →]) ), 2]) = (((4  π))^2) ∫∫(Subscript[((Subscript[r, 1])^m), 1]) (Subscript[((Subscript[r, 2])^m), 2]) (E^(-2 
                        Z (Subscript[r, 1])/(Subscript[a, 0]))) (E^(-2 
                        Z (Subscript[r, 2])/
                          (Subscript[a, 0]))) ((Subscript[r, 1])^2) \[DifferentialD](Subscript[r, 1])  ((Subscript[r, 2])^2) \[DifferentialD](Subscript[r, 2]) = (((((Subscript[a, 0])/(2  Z))))^((Subscript[m, 1]) + 
                    (Subscript[m, 2]) + 6)) (((4  π))^2) ∫∫(Subscript[((Subscript[ρ, 1])^m), 1]) (Subscript[((Subscript[ρ, 2])^m), 2]) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) (E^(-(Subscript[ρ, 2]))) ((Subscript[ρ, 1])^2) \[DifferentialD](Subscript[ρ, 1])  ((Subscript[ρ, 2])^2) \[DifferentialD](Subscript[ρ, 2]) = (((((Subscript[a, 0])/(2  Z))))^((Subscript[m, 1]) + (Subscript[m, 2]) + 
                    6)) (((4  π))^2) Γ ((Subscript[m, 1]) + 
                  3) Γ ((Subscript[m, 2]) + 3)

When n = 2, we use ((Subscript[r, 12])^2) = 
        ((Subscript[r, 1])^2) + ((Subscript[r, 2])^2) - 2 cos (Subscript[θ, 12]), and cos (Subscript[θ, 12]) averages to zero upon angular integrations.  Therefore,

int[2, (Subscript[m, 1]), 
        (Subscript[m, 2])] = ∫∫((Subscript[r, 12])^2) (Subscript[((Subscript[r, 1])^m), 1]) (Subscript[((Subscript[r, 2])^m), 2]) (E^(-2 Z (Subscript[r, 1])/(Subscript[a, 0]))) (E^(-2 
                    Z (Subscript[r, 2])/
                      (Subscript[a, 0]))) \[DifferentialD](Subscript[((Overscript[x,  →]) ), 1]) \[DifferentialD](Subscript[((Overscript[x,  →]) ), 2]) = (((4  π))^2) ∫∫(((Subscript[r, 1])^2) + 
                      ((Subscript[r, 2])^2)) (Subscript[((Subscript[r, 1])^m), 1]) (Subscript[((Subscript[r, 2])^m), 2]) (E^(-2 
                        Z (Subscript[r, 1])/(Subscript[a, 0]))) (E^(-2 
                        Z (Subscript[r, 2])/
                          (Subscript[a, 0]))) ((Subscript[r, 1])^2) \[DifferentialD](Subscript[r, 1])  ((Subscript[r, 2])^2) \[DifferentialD](Subscript[r, 2]) = (((((Subscript[a, 0])/(2  Z))))^((Subscript[m, 1]) + 
                    (Subscript[m, 2]) + 8)) (((4  π))^2) ∫∫(((Subscript[ρ, 1])^2) + ((Subscript[ρ, 2])^2)) (Subscript[((Subscript[ρ, 1])^m), 1]) (Subscript[((Subscript[ρ, 2])^m), 2]) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) (E^(-(Subscript[ρ, 2]))) ((Subscript[ρ, 1])^2) \[DifferentialD](Subscript[ρ, 1])  ((Subscript[ρ, 2])^2) \[DifferentialD](Subscript[ρ, 2]) = (((((Subscript[a, 0])/(2  Z))))^((Subscript[m, 1]) + (Subscript[m, 2]) + 
                    8)) (((4  π))^2) (Γ ((Subscript[m, 1]) + 
                        5) Γ ((Subscript[m, 2]) + 
                        3) + Γ ((Subscript[m, 1]) + 
                        3) Γ ((Subscript[m, 2]) + 
                        5))

When n = -1, we use the trick we used in the lecture notes to write

\(1\/r\_12 = ∑\+\(l = 0\)\%∞\(\( r\_ < \)\^l\/\(r\_ > \)\^\(l + 1\)\) \(P\_l\) \((cos\ θ)\)\)

Only l = 0 contributes after the angular integrations, and we find

\(∫\(∫\(1\/r\_12\) \(r\_1\^m\_1\) \(r\_2\^m\_2\) \(E\^\(\(-2\) Z\ r\_1/a\_0\)\) \(E\^\(\(-2\) 
                  Z\ r\_2/
                    a\_0\)\) \[DifferentialD]\(x\& → \)\_1 \[DifferentialD]\(x\& → \)\_2\) = \(\(\((4  π)\)\^2\) \(∫\(∫\(1\/\(r\_ > \)\) \(r\_1\^m\_1\) \(r\_2\^m\_2\) \(E\^\(\(-2\) Z\ r\_1/a\_0\)\) \(E\^\(\(-2\) 
                      Z\ r\_2/
                        a\_0\)\) \(r\_1\^2\) \[DifferentialD]r\_1 \( r\_2\^2\) \[DifferentialD]r\_2\)\) = \(\(\((a\_0\/\(2  Z\))\)\^\(m\_1 + 
                  m\_2 + 5\)\) \(\((4  π)\)\^2\) \(∫\(∫\(1\/\(ρ\_ > \)\) \(ρ\_1\^m\_1\) \(ρ\_2\^m\_2\) \(E\^\(-ρ\_1\)\) \(E\^\(-ρ\_2\)\) \(ρ\_1\^2\) \[DifferentialD]ρ\_1 \( ρ\_2\^2\) \[DifferentialD]ρ\_2\)\) = \(\((a\_0\/\(2  Z\))\)\^\(m\_1 + m\_2 + 
                  5\)\) \(\((4  π)\)\^2\) \((∫\_0\^∞\(∫\_0\^ρ\_2\( 
                          1\/ρ\_2\) \(ρ\_1\^\(m\_1 + 
                            2\)\) \(ρ\_2\^\(m\_2 + 
                            2\)\) \(E\^\(-ρ\_1\)\) \(E\^\(-ρ\_2\)\) \[DifferentialD]ρ\_1 \[DifferentialD]ρ\_2\) + ∫\_0\^∞\(∫\_0\^ρ\_1\( 
                          1\/ρ\_1\) \(ρ\_1\^\(m\_1 + 
                            2\)\) \(ρ\_2\^\(m\_2 + 
                            2\)\) \(E\^\(-ρ\_1\)\) \(E\^\(-ρ\_2\)\) \[DifferentialD]ρ\_2 \[DifferentialD]ρ\_1\))\)\)\)\)

Finally, when n = 1, we use the trick we used in the hints

\(r\_12 = ∑\+\(l = 0\)\%∞\(\( r\_ < \)\^l\/\(r\_ > \)\^\(l + 1\)\) \((\(r\_ < \)\^2\/\(2  l + 3\) - \(r\_ > \)\^2\/\(2  l - 1\))\) \(P\_l\) \((cos\ θ)\)\)

Only l = 0 contributes after the angular integrations, and we find

\(∫\(∫\(r\_12\) \(r\_1\^m\_1\) \(r\_2\^m\_2\) \(E\^\(\(-2\) Z\ r\_1/a\_0\)\) \(E\^\(\(-2\) 
                  Z\ r\_2/
                    a\_0\)\) \[DifferentialD]\(x\& → \)\_1 \[DifferentialD]\(x\& → \)\_2\) = \(\(\((4  π)\)\^2\) \(∫\(∫\(1\/\(r\_ > \)\) \((\(r\_ < \)\^2\/3 + \(r\_ > \)\^2)\) \(r\_1\^m\_1\) \(r\_2\^m\_2\) \(E\^\(\(-2\) 
                      Z\ r\_1/a\_0\)\) \(E\^\(\(-2\) 
                      Z\ r\_2/
                        a\_0\)\) \(r\_1\^2\) \[DifferentialD]r\_1 \( r\_2\^2\) \[DifferentialD]r\_2\)\) = \(\(\((a\_0\/\(2  Z\))\)\^\(m\_1 + 
                  m\_2 + 7\)\) \(\((4  π)\)\^2\) \(∫\(∫\(1\/\(ρ\_ > \)\) \((\(ρ\_ < \)\^2\/3 + \(ρ\_ > \)\^2)\) \(ρ\_1\^m\_1\) \(ρ\_2\^m\_2\) \(E\^\(-ρ\_1\)\) \(E\^\(-ρ\_2\)\) \(ρ\_1\^2\) \[DifferentialD]ρ\_1 \( ρ\_2\^2\) \[DifferentialD]ρ\_2\)\) = \(\((a\_0\/\(2  Z\))\)\^\(m\_1 + m\_2 + 
                  7\)\) \(\((4  π)\)\^2\) \((∫\_0\^∞\(∫\_0\^ρ\_2\( 
                          1\/ρ\_2\) \((ρ\_1\^2\/3 + ρ\_2\^2)\) \(ρ\_1\^\(m\_1 + 2\)\) \(ρ\_2\^\(m\_2 + 
                            2\)\) \(E\^\(-ρ\_1\)\) \(E\^\(-ρ\_2\)\) \[DifferentialD]ρ\_1 \[DifferentialD]ρ\_2\) + ∫\_0\^∞\(∫\_0\^ρ\_1\( 
                          1\/ρ\_1\) \((ρ\_2\^2\/3 + ρ\_1\^2)\) \(ρ\_1\^\(m\_1 + 2\)\) \(ρ\_2\^\(m\_2 + 
                            2\)\) \(E\^\(-ρ\_1\)\) \(E\^\(-ρ\_2\)\) \[DifferentialD]ρ\_2 \[DifferentialD]ρ\_1\))\)\)\)\)

The norm of the wave function and the expectation value.

We take the unit (Subscript[a, 0]) = 1, (e^2) = 1.

norm = (N^2) (int[0, 0, 0] + 2 (Subscript[c, 1]) int[1, 0, 0] + 
            2  (Subscript[c, 2]) (int[0, 2, 0] + int[0, 0, 2] - 
                  2  int[0, 1, 1]) + ((Subscript[c, 1])^2) int[2, 0, 0] + 
            2  (Subscript[c, 1]) (Subscript[c, 2]) (int[1, 2, 0] + int[1, 0, 2] - 
                  2  int[1, 1, 1]) + ((Subscript[c, 2])^2) (int[0, 4, 0] - 
                  4  int[0, 3, 1] + 6  int[0, 2, 2] - 4  int[0, 1, 3] + 
                  int[0, 0, 4]))

expectation = (N^2) (((-1)/2) ((-2 
                        Z (int[0, -1, 0] + int[0, 0, -1]) + 
                      2  (Z^2) int[0, 0, 0] - (Subscript[c, 1]) 2  
                        Z (int[1, -1, 0] + 
                            int[1, 0, -1]) + (Subscript[c, 1]) 2  (Z^2) 
                        int[1, 0, 0] - (Subscript[c, 2]) 2  
                        Z (-int[0, 1, 0] - int[0, 0, 1] + 
                            int[0, -1, 2] + 
                            int[0, 2, -1]) + (Subscript[c, 2]) 
                        2  (Z^2) (int[0, 2, 0] - 2  int[0, 1, 1] + 
                            int[0, 0, 2]) + (Subscript[c, 1]) 4 
                         int[-1, 0, 0] + (Subscript[c, 2]) 4 
                         int[0, 0, 0] + (Subscript[c, 2]) 
                        4 (2  int[0, 0, 0] - int[0, -1, 1] - 
                            int[0, 1, -1]) - (Subscript[c, 1]) 
                        Z (int[1, -1, 0] + int[-1, 1, 0] - 
                            int[-1, -1, 2] + int[1, 0, -1] + 
                            int[-1, 0, 1] - 
                            int[-1, 2, -1])) + (Subscript[c, 1]) (-2 
                          Z (int[1, -1, 0] + int[1, 0, -1]) + 
                        2  (Z^2) int[1, 0, 0] - (Subscript[c, 1]) 2  
                          Z (int[2, -1, 0] + 
                              int[2, 0, -1]) + (Subscript[c, 1]) 2  (Z^2) 
                          int[2, 0, 0] - (Subscript[c, 2]) 2  
                          Z (-int[1, 1, 0] - int[1, 0, 1] + 
                              int[1, -1, 2] + 
                              int[1, 2, -1]) + (Subscript[c, 2]) 
                          2  (Z^2) (int[1, 2, 0] - 2  int[1, 1, 1] + 
                              int[1, 0, 2]) + (Subscript[c, 1]) 4 
                           int[0, 0, 0] + (Subscript[c, 2]) 4  int[1, 0, 0] + (Subscript[c, 2]) 
                          4 (2  int[1, 0, 0] - int[1, -1, 1] - 
                              int[1, 1, -1]) - (Subscript[c, 1]) 
                          Z (int[2, -1, 0] + int[0, 1, 0] - 
                              int[0, -1, 2] + int[2, 0, -1] + 
                              int[0, 0, 1] - 
                              int[0, 2, -1])) + (Subscript[c, 2]) ((-2 
                              Z (int[0, 1, 0] + int[0, 2, -1]) + 
                            2  (Z^2) int[0, 2, 0] - (Subscript[c, 1]) 2  
                              Z (int[1, 1, 0] + 
                                  int[1, 2, -1]) + (Subscript[c, 1]) 2  (Z^2) 
                              int[1, 2, 0] - (Subscript[c, 2]) 2  
                              Z (-int[0, 3, 0] - int[0, 2, 1] + 
                                  int[0, 1, 2] + 
                                  int[0, 4, -1]) + (Subscript[c, 2]) 
                              2  (Z^2) (int[0, 4, 0] - 2  int[0, 3, 1] + 
                                  int[0, 2, 2]) + (Subscript[c, 1]) 4 
                               int[-1, 2, 0] + (Subscript[c, 2]) 4 
                               int[0, 2, 0] + (Subscript[c, 2]) 
                              4 (2  int[0, 2, 0] - int[0, 1, 1] - 
                                  int[0, 3, -1]) - (Subscript[c, 1]) 
                              Z (int[1, 1, 0] + int[-1, 3, 0] - 
                                  int[-1, 1, 2] + int[1, 2, -1] + 
                                  int[-1, 2, 1] - 
                                  int[-1, 4, -1])) + (-2 
                              Z (int[0, -1, 2] + int[0, 0, 1]) + 
                            2  (Z^2) int[0, 0, 2] - (Subscript[c, 1]) 2  
                              Z (int[1, -1, 2] + 
                                  int[1, 0, 1]) + (Subscript[c, 1]) 2  (Z^2) 
                              int[1, 0, 2] - (Subscript[c, 2]) 2  
                              Z (-int[0, 1, 2] - int[0, 0, 3] + 
                                  int[0, -1, 4] + 
                                  int[0, 2, 1]) + (Subscript[c, 2]) 
                              2  (Z^2) (int[0, 2, 2] - 2  int[0, 1, 3] + 
                                  int[0, 0, 4]) + (Subscript[c, 1]) 4 
                               int[-1, 0, 2] + (Subscript[c, 2]) 4 
                               int[0, 0, 2] + (Subscript[c, 2]) 
                              4 (2  int[0, 0, 2] - int[0, -1, 3] - 
                                  int[0, 1, 1]) - (Subscript[c, 1]) 
                              Z (int[1, -1, 2] + int[-1, 1, 2] - 
                                  int[-1, -1, 4] + int[1, 0, 1] + 
                                  int[-1, 0, 3] - 
                                  int[-1, 2, 1])) - 
                        2 (-2 Z (int[0, 0, 1] + int[0, 1, 0]) + 
                              2  (Z^2) int[0, 1, 1] - (Subscript[c, 1]) 2  
                                Z (int[1, 0, 1] + 
                                    int[1, 1, 0]) + (Subscript[c, 1]) 2  (Z^2) 
                                int[1, 1, 1] - (Subscript[c, 2]) 2  
                                Z (-int[0, 2, 1] - int[0, 1, 2] + 
                                    int[0, 0, 3] + int[0, 3, 0]) + (Subscript[c, 2]) 
                                2  (Z^2) (int[0, 3, 1] - 
                                    2  int[0, 2, 2] + 
                                    int[0, 1, 3]) + (Subscript[c, 1]) 4 
                                 int[-1, 1, 1] + (Subscript[c, 2]) 4 
                                 int[0, 1, 1] + (Subscript[c, 2]) 
                                4 (2  int[0, 1, 1] - int[0, 0, 2] - 
                                    int[0, 2, 0]) - (Subscript[c, 1]) 
                                Z (int[1, 0, 1] + int[-1, 2, 1] - 
                                    int[-1, 0, 3] + int[1, 1, 0] + 
                                    int[-1, 1, 2] - 
                                    int[-1, 3, 0])))) - 
            2 (int[0, -1, 0] + 2 (Subscript[c, 1]) int[1, -1, 0] + 
                  2  (Subscript[c, 2]) (int[0, 1, 0] + int[0, -1, 2] - 
                        2  int[0, 0, 1]) + ((Subscript[c, 1])^2) int[2, -1, 0] + 
                  2  (Subscript[c, 1]) (Subscript[c, 2]) (int[1, 1, 0] + int[1, -1, 2] - 
                        2  int[1, 0, 1]) + ((Subscript[c, 2])^2) (int[0, 3, 0] - 
                        4  int[0, 2, 1] + 6  int[0, 1, 2] - 4  int[0, 0, 3] + 
                        int[0, -1, 4])) - 
            2 (int[0, 0, -1] + 2 (Subscript[c, 1]) int[1, 0, -1] + 
                  2  (Subscript[c, 2]) (int[0, 2, -1] + int[0, 0, 1] - 
                        2  int[0, 1, 0]) + ((Subscript[c, 1])^2) int[2, 0, -1] + 
                  2  (Subscript[c, 1]) (Subscript[c, 2]) (int[1, 2, -1] + int[1, 0, 1] - 
                        2  int[1, 1, 0]) + ((Subscript[c, 2])^2) (int[0, 
                          4, -1] - 4  int[0, 3, 0] + 6  int[0, 2, 1] - 
                        4  int[0, 1, 2] + int[0, 0, 3])) + (int[-1, 
                  0, 0] + 2 (Subscript[c, 1]) int[0, 0, 0] + 
                2  (Subscript[c, 2]) (int[-1, 2, 0] + int[-1, 0, 2] - 
                      2  int[-1, 1, 1]) + ((Subscript[c, 1])^2) int[1, 0, 0] + 
                2  (Subscript[c, 1]) (Subscript[c, 2]) (int[0, 2, 0] + int[0, 0, 2] - 
                      2  int[0, 1, 1]) + ((Subscript[c, 2])^2) (int[-1, 4, 0] - 
                      4  int[-1, 3, 1] + 6  int[-1, 2, 2] - 
                      4  int[-1, 1, 3] + 
                      int[-1, 0, 4])))

n=0

int[0, (Subscript[m, 1]), 
        (Subscript[m, 2])] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              6)) (((4  π))^2) Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] 
        Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3]

int[0, 0, 
        2] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 0, 
          (Subscript[m, 2]) -> 2}

int[0, 1, 
        1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 1, 
          (Subscript[m, 2]) -> 1}

int[0, 2, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 2, 
          (Subscript[m, 2]) -> 0}

int[0, 0, 
        4] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 0, 
          (Subscript[m, 2]) -> 4}

int[0, 1, 
        3] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 1, 
          (Subscript[m, 2]) -> 3}

int[0, 2, 
        2] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 2, 
          (Subscript[m, 2]) -> 2}

int[0, 3, 
        1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 3, 
          (Subscript[m, 2]) -> 1}

int[0, 4, 
        0]  = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 4, 
          (Subscript[m, 2]) -> 0}

int[0, 0, 
        0]  = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 0, 
          (Subscript[m, 2]) -> 0}

int[0, -1, 
        0]   = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
                6)) (((4  π))^2) Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] 
          Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> -1, (Subscript[m, 2]) -> 0}

int[0, -1, 
        2]  = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> -1, 
          (Subscript[m, 2]) -> 2}

int[0, 0, 
        1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 0, 
          (Subscript[m, 2]) -> 1}

int[0, 1, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 1, 
          (Subscript[m, 2]) -> 0}

int[0, -1, 
        4]  = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> -1, 
          (Subscript[m, 2]) -> 4}

int[0, 0, 
        3] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 0, 
          (Subscript[m, 2]) -> 3}

int[0, 1, 
        2] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 1, 
          (Subscript[m, 2]) -> 2}

int[0, 2, 
        1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 2, 
          (Subscript[m, 2]) -> 1}

int[0, 3, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 3, 
          (Subscript[m, 2]) -> 0}

int[0, 
        0, -1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
                6)) (((4  π))^2) Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] 
          Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 0, (Subscript[m, 2]) -> -1}

int[0, 0, 
        1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 0, 
          (Subscript[m, 2]) -> 1}

int[0, 1, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 1, 
          (Subscript[m, 2]) -> 0}

int[0, 
        2, -1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
                6)) (((4  π))^2) Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] 
          Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 2, (Subscript[m, 2]) -> -1}

int[0, 0, 
        3] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 0, 
          (Subscript[m, 2]) -> 3}

int[0, 1, 
        2] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 1, 
          (Subscript[m, 2]) -> 2}

int[0, 2, 
        1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 2, 
          (Subscript[m, 2]) -> 1}

int[0, 3, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 3, 
          (Subscript[m, 2]) -> 0}

int[0, 
        4, -1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
                6)) (((4  π))^2) Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] 
          Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 4, (Subscript[m, 2]) -> -1}

int[0, -1, 
        1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> -1, 
          (Subscript[m, 2]) -> 1}

int[0, 
        1, -1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
                6)) (((4  π))^2) Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] 
          Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 1, (Subscript[m, 2]) -> -1}

int[0, -1, 
        3] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 6)) (((4  π))^2) 
          Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> -1, 
          (Subscript[m, 2]) -> 3}

int[0, 
        3, -1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
                6)) (((4  π))^2) Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] 
          Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] /. {(Subscript[m, 1]) -> 3, (Subscript[m, 2]) -> -1}

n=2

int[2, (Subscript[m, 1]), 
        (Subscript[m, 2])] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              8)) (((4  π))^2) (Gamma[(Subscript[m, 1]) + 5] 
              Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] + Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 5])

int[2, 0, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
                8)) (((4  π))^2) (Gamma[(Subscript[m, 1]) + 5] 
                Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] + 
              Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 5]) /. {(Subscript[m, 1]) -> 0, 
          (Subscript[m, 2]) -> 0}

int[2, -1, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
                8)) (((4  π))^2) (Gamma[(Subscript[m, 1]) + 5] 
                Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] + 
              Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 5]) /. {(Subscript[m, 1]) -> -1, 
          (Subscript[m, 2]) -> 0}

int[2, 
        0, -1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
                8)) (((4  π))^2) (Gamma[(Subscript[m, 1]) + 5] 
                Gamma[(Subscript[m, 2]) + 3] + 
              Gamma[(Subscript[m, 1]) + 3] Gamma[(Subscript[m, 2]) + 5]) /. {(Subscript[m, 1]) -> 0, 
          (Subscript[m, 2]) -> -1}

n=-1

int[-1, (Subscript[m, 1]), 
        (Subscript[m, 2])] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 0; (Subscript[m, 2]) = 0;

int[-1, 0, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 0; (Subscript[m, 2]) = 2;

int[-1, 0, 
        2] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 1; (Subscript[m, 2]) = 1;

int[-1, 1, 
        1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 2; (Subscript[m, 2]) = 0;

int[-1, 2, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 0; (Subscript[m, 2]) = 4;

int[-1, 0, 
        4] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 1; (Subscript[m, 2]) = 3;

int[-1, 1, 
        3] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 2; (Subscript[m, 2]) = 2;

int[-1, 2, 
        2] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 3; (Subscript[m, 2]) = 1;

int[-1, 3, 
        1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 4; (Subscript[m, 2]) = 0;

int[-1, 4, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = -1; (Subscript[m, 2]) = 2;

int[-1, -1, 
        2] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 2; (Subscript[m, 2]) = -1;

int[-1, 
        2, -1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 0; (Subscript[m, 2]) = 1;

int[-1, 0, 
        1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 1; (Subscript[m, 2]) = 0;

int[-1, 1, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = -1; (Subscript[m, 2]) = 4;

int[-1, -1, 
        4] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 4; (Subscript[m, 2]) = -1;

int[-1, 
        4, -1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 0; (Subscript[m, 2]) = 3;

int[-1, 0, 
        3] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 3; (Subscript[m, 2]) = 0;

int[-1, 3, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 1; (Subscript[m, 2]) = 2;

int[-1, 1, 
        2] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 2; (Subscript[m, 2]) = 1;

int[-1, 2, 
        1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              5)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 
                        2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 
                        2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) =. ; (Subscript[m, 2]) =. ;

n=1

\(int[1, m\_1, 
        m\_2] = \(\((2  Z)\)\^\(\(-m\_1\) - m\_2 - 
              7\)\) \(\((4  π)\)\^2\) \(∫\(∫\(1\/\(ρ\_ > \)\) \((\(ρ\_ < \)\^2\/3 + \(ρ\_ > \)\^2)\) \(ρ\_1\^\(m\_1 + 2\)\) \(ρ\_2\^\(m\_2 + 
                    2\)\) \(E\^\(-ρ\_1\)\) \(E\^\(-ρ\_2\)\) \[DifferentialD]ρ\_1 \[DifferentialD]ρ\_2\)\)\)

int[1, (Subscript[m, 1]), 
        (Subscript[m, 2])] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              7)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((((Subscript[ρ, 1])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 2])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((((Subscript[ρ, 2])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 1])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 0; (Subscript[m, 2]) = 0;

int[1, 0, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              7)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((((Subscript[ρ, 1])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 2])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((((Subscript[ρ, 2])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 1])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 0; (Subscript[m, 2]) = 2;

int[1, 0, 
        2] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              7)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((((Subscript[ρ, 1])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 2])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((((Subscript[ρ, 2])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 1])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 1; (Subscript[m, 2]) = 1;

int[1, 1, 
        1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              7)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((((Subscript[ρ, 1])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 2])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((((Subscript[ρ, 2])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 1])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 2; (Subscript[m, 2]) = 0;

int[1, 2, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              7)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((((Subscript[ρ, 1])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 2])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((((Subscript[ρ, 2])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 1])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = -1; (Subscript[m, 2]) = 0;

int[1, -1, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              7)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((((Subscript[ρ, 1])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 2])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((((Subscript[ρ, 2])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 1])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = -1; (Subscript[m, 2]) = 2;

int[1, -1, 
        2] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              7)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((((Subscript[ρ, 1])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 2])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((((Subscript[ρ, 2])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 1])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 0; (Subscript[m, 2]) = 1;

int[1, 0, 
        1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              7)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((((Subscript[ρ, 1])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 2])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((((Subscript[ρ, 2])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 1])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 1; (Subscript[m, 2]) = 0;

int[1, 1, 
        0] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              7)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((((Subscript[ρ, 1])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 2])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((((Subscript[ρ, 2])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 1])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 0; (Subscript[m, 2]) = -1;

int[1, 
        0, -1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              7)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((((Subscript[ρ, 1])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 2])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((((Subscript[ρ, 2])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 1])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 2; (Subscript[m, 2]) = -1;

int[1, 
        2, -1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              7)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((((Subscript[ρ, 1])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 2])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((((Subscript[ρ, 2])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 1])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = -1; (Subscript[m, 2]) = 1;

int[1, -1, 
        1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              7)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((((Subscript[ρ, 1])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 2])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((((Subscript[ρ, 2])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 1])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) = 1; (Subscript[m, 2]) = -1;

int[1, 
        1, -1] = (((2  Z))^(-(Subscript[m, 1]) - (Subscript[m, 2]) - 
              7)) (((4  π))^2) (Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 2])) ((((Subscript[ρ, 1])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 2])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 1]), 0, (Subscript[ρ, 2])}], {(Subscript[ρ, 2]), 
                0, ∞}] + 
            Integrate[
              Integrate[(1/(Subscript[ρ, 1])) ((((Subscript[ρ, 2])^2)/3) + ((Subscript[ρ, 1])^2)) ((Subscript[ρ, 1])^((Subscript[m, 1]) + 2)) ((Subscript[ρ, 2])^((Subscript[m, 2]) + 2)) (E^(-(Subscript[ρ, 1]))) 
                  (E^(-(Subscript[ρ, 2]))), {(Subscript[ρ, 2]), 0, (Subscript[ρ, 1])}], {(Subscript[ρ, 1]), 
                0, ∞}])

(Subscript[m, 1]) =. ; (Subscript[m, 2]) =. ;

Now we use the variational method

norm = (N^2) (int[0, 0, 0] + 2 (Subscript[c, 1]) int[1, 0, 0] + 
            2  (Subscript[c, 2]) (int[0, 2, 0] + int[0, 0, 2] - 
                  2  int[0, 1, 1]) + ((Subscript[c, 1])^2) int[2, 0, 0] + 
            2  (Subscript[c, 1]) (Subscript[c, 2]) (int[1, 2, 0] + int[1, 0, 2] - 
                  2  int[1, 1, 1]) + ((Subscript[c, 2])^2) (int[0, 4, 0] - 
                  4  int[0, 3, 1] + 6  int[0, 2, 2] - 4  int[0, 1, 3] + 
                  int[0, 0, 4]))

expectation = (N^2) (((-1)/2) ((-2 
                        Z (int[0, -1, 0] + int[0, 0, -1]) + 
                      2  (Z^2) int[0, 0, 0] - (Subscript[c, 1]) 2  
                        Z (int[1, -1, 0] + 
                            int[1, 0, -1]) + (Subscript[c, 1]) 2  (Z^2) 
                        int[1, 0, 0] - (Subscript[c, 2]) 2  
                        Z (-int[0, 1, 0] - int[0, 0, 1] + 
                            int[0, -1, 2] + 
                            int[0, 2, -1]) + (Subscript[c, 2]) 
                        2  (Z^2) (int[0, 2, 0] - 2  int[0, 1, 1] + 
                            int[0, 0, 2]) + (Subscript[c, 1]) 4 
                         int[-1, 0, 0] + (Subscript[c, 2]) 4 
                         int[0, 0, 0] + (Subscript[c, 2]) 
                        4 (2  int[0, 0, 0] - int[0, -1, 1] - 
                            int[0, 1, -1]) - (Subscript[c, 1]) 
                        Z (int[1, -1, 0] + int[-1, 1, 0] - 
                            int[-1, -1, 2] + int[1, 0, -1] + 
                            int[-1, 0, 1] - 
                            int[-1, 2, -1])) + (Subscript[c, 1]) (-2 
                          Z (int[1, -1, 0] + int[1, 0, -1]) + 
                        2  (Z^2) int[1, 0, 0] - (Subscript[c, 1]) 2  
                          Z (int[2, -1, 0] + 
                              int[2, 0, -1]) + (Subscript[c, 1]) 2  (Z^2) 
                          int[2, 0, 0] - (Subscript[c, 2]) 2  
                          Z (-int[1, 1, 0] - int[1, 0, 1] + 
                              int[1, -1, 2] + 
                              int[1, 2, -1]) + (Subscript[c, 2]) 
                          2  (Z^2) (int[1, 2, 0] - 2  int[1, 1, 1] + 
                              int[1, 0, 2]) + (Subscript[c, 1]) 4 
                           int[0, 0, 0] + (Subscript[c, 2]) 4  int[1, 0, 0] + (Subscript[c, 2]) 
                          4 (2  int[1, 0, 0] - int[1, -1, 1] - 
                              int[1, 1, -1]) - (Subscript[c, 1]) 
                          Z (int[2, -1, 0] + int[0, 1, 0] - 
                              int[0, -1, 2] + int[2, 0, -1] + 
                              int[0, 0, 1] - 
                              int[0, 2, -1])) + (Subscript[c, 2]) ((-2 
                              Z (int[0, 1, 0] + int[0, 2, -1]) + 
                            2  (Z^2) int[0, 2, 0] - (Subscript[c, 1]) 2  
                              Z (int[1, 1, 0] + 
                                  int[1, 2, -1]) + (Subscript[c, 1]) 2  (Z^2) 
                              int[1, 2, 0] - (Subscript[c, 2]) 2  
                              Z (-int[0, 3, 0] - int[0, 2, 1] + 
                                  int[0, 1, 2] + 
                                  int[0, 4, -1]) + (Subscript[c, 2]) 
                              2  (Z^2) (int[0, 4, 0] - 2  int[0, 3, 1] + 
                                  int[0, 2, 2]) + (Subscript[c, 1]) 4 
                               int[-1, 2, 0] + (Subscript[c, 2]) 4 
                               int[0, 2, 0] + (Subscript[c, 2]) 
                              4 (2  int[0, 2, 0] - int[0, 1, 1] - 
                                  int[0, 3, -1]) - (Subscript[c, 1]) 
                              Z (int[1, 1, 0] + int[-1, 3, 0] - 
                                  int[-1, 1, 2] + int[1, 2, -1] + 
                                  int[-1, 2, 1] - 
                                  int[-1, 4, -1])) + (-2 
                              Z (int[0, -1, 2] + int[0, 0, 1]) + 
                            2  (Z^2) int[0, 0, 2] - (Subscript[c, 1]) 2  
                              Z (int[1, -1, 2] + 
                                  int[1, 0, 1]) + (Subscript[c, 1]) 2  (Z^2) 
                              int[1, 0, 2] - (Subscript[c, 2]) 2  
                              Z (-int[0, 1, 2] - int[0, 0, 3] + 
                                  int[0, -1, 4] + 
                                  int[0, 2, 1]) + (Subscript[c, 2]) 
                              2  (Z^2) (int[0, 2, 2] - 2  int[0, 1, 3] + 
                                  int[0, 0, 4]) + (Subscript[c, 1]) 4 
                               int[-1, 0, 2] + (Subscript[c, 2]) 4 
                               int[0, 0, 2] + (Subscript[c, 2]) 
                              4 (2  int[0, 0, 2] - int[0, -1, 3] - 
                                  int[0, 1, 1]) - (Subscript[c, 1]) 
                              Z (int[1, -1, 2] + int[-1, 1, 2] - 
                                  int[-1, -1, 4] + int[1, 0, 1] + 
                                  int[-1, 0, 3] - 
                                  int[-1, 2, 1])) - 
                        2 (-2 Z (int[0, 0, 1] + int[0, 1, 0]) + 
                              2  (Z^2) int[0, 1, 1] - (Subscript[c, 1]) 2  
                                Z (int[1, 0, 1] + 
                                    int[1, 1, 0]) + (Subscript[c, 1]) 2  (Z^2) 
                                int[1, 1, 1] - (Subscript[c, 2]) 2  
                                Z (-int[0, 2, 1] - int[0, 1, 2] + 
                                    int[0, 0, 3] + int[0, 3, 0]) + (Subscript[c, 2]) 
                                2  (Z^2) (int[0, 3, 1] - 
                                    2  int[0, 2, 2] + 
                                    int[0, 1, 3]) + (Subscript[c, 1]) 4 
                                 int[-1, 1, 1] + (Subscript[c, 2]) 4 
                                 int[0, 1, 1] + (Subscript[c, 2]) 
                                4 (2  int[0, 1, 1] - int[0, 0, 2] - 
                                    int[0, 2, 0]) - (Subscript[c, 1]) 
                                Z (int[1, 0, 1] + int[-1, 2, 1] - 
                                    int[-1, 0, 3] + int[1, 1, 0] + 
                                    int[-1, 1, 2] - 
                                    int[-1, 3, 0])))) - 
            2 (int[0, -1, 0] + 2 (Subscript[c, 1]) int[1, -1, 0] + 
                  2  (Subscript[c, 2]) (int[0, 1, 0] + int[0, -1, 2] - 
                        2  int[0, 0, 1]) + ((Subscript[c, 1])^2) int[2, -1, 0] + 
                  2  (Subscript[c, 1]) (Subscript[c, 2]) (int[1, 1, 0] + int[1, -1, 2] - 
                        2  int[1, 0, 1]) + ((Subscript[c, 2])^2) (int[0, 3, 0] - 
                        4  int[0, 2, 1] + 6  int[0, 1, 2] - 4  int[0, 0, 3] + 
                        int[0, -1, 4])) - 
            2 (int[0, 0, -1] + 2 (Subscript[c, 1]) int[1, 0, -1] + 
                  2  (Subscript[c, 2]) (int[0, 2, -1] + int[0, 0, 1] - 
                        2  int[0, 1, 0]) + ((Subscript[c, 1])^2) int[2, 0, -1] + 
                  2  (Subscript[c, 1]) (Subscript[c, 2]) (int[1, 2, -1] + int[1, 0, 1] - 
                        2  int[1, 1, 0]) + ((Subscript[c, 2])^2) (int[0, 
                          4, -1] - 4  int[0, 3, 0] + 6  int[0, 2, 1] - 
                        4  int[0, 1, 2] + int[0, 0, 3])) + (int[-1, 
                  0, 0] + 2 (Subscript[c, 1]) int[0, 0, 0] + 
                2  (Subscript[c, 2]) (int[-1, 2, 0] + int[-1, 0, 2] - 
                      2  int[-1, 1, 1]) + ((Subscript[c, 1])^2) int[1, 0, 0] + 
                2  (Subscript[c, 1]) (Subscript[c, 2]) (int[0, 2, 0] + int[0, 0, 2] - 
                      2  int[0, 1, 1]) + ((Subscript[c, 2])^2) (int[-1, 4, 0] - 
                      4  int[-1, 3, 1] + 6  int[-1, 2, 2] - 
                      4  int[-1, 1, 3] + 
                      int[-1, 0, 4])))

variation = expectation - λ (norm - 1)

Varying Z only

variation

% /. {(Subscript[c, 1]) -> 0, (Subscript[c, 2]) -> 0}

Solve[D[%, λ] == 0, N]

%% /. %[[2]]

Solve[D[%, Z] == 0, Z]

%% /. %[[1]]

N[-(729/256)]

%*27.071898100172714`

This calculation is off by

78.605 + %

varying Z and (Subscript[c, 1])

variation /. {(Subscript[c, 2]) -> 0}

Solve[D[%, (Subscript[c, 1])] == 0, (Subscript[c, 1])]

variation2 = Simplify[%% /. %[[1]]]

Simplify[D[variation2, N]]

Solve[% == 0, λ]

lambdasol = %;

variation3 = Simplify[variation2 /. lambdasol[[1]]]

FindMinimum[%, {Z, 1}]

variation4 = Simplify[variation2 /. lambdasol[[2]]]

FindMinimum[variation4, {Z, 1}]

-2.89112071679167`*27.071898100172714`

This calculation is off by

78.605 + %

which is a dramatic improvement over the case without the correlation, even though the size of the correlation itself is small.

varying Z and (Subscript[c, 1])and (Subscript[c, 2])

variation

Solve[{D[%, (Subscript[c, 1])] == 0, D[%, (Subscript[c, 2])] == 0}, {(Subscript[c, 1]), 
        (Subscript[c, 2])}]

variation2 = Simplify[%% /. %[[1]]]

Simplify[D[variation2, N]]

Solve[% == 0, λ]

lambdasol = %;

variation3 = Simplify[variation2 /. lambdasol[[1]]]

FindMinimum[Re[variation3], {Z, {1, 2}}]

-2.9024320289874797`*27.071898100172714`

This calculation is off by

78.605 + %

which is further an order of magnitude improvement over the previous case.